Desde estos ángulos, 24 siglos os contemplan

Hace más de 2.300 años, Euclides escribió su famoso Elementos, donde se recopilan teoremas y demostraciones de geometría, las cuales han servido de base para las matemáticas de los últimos 24 siglos. Evidentemente, se ha avanzado mucho desde aquella época, se han reformado muchos conceptos, se han añadido muchísimos otros y se han demostrado infinidad de nuevos teoremas. Sin embargo, aún estamos anclados a dos conceptos que, por ser muy intuitivos, no se han modificado desde entonces: la distancia y el ángulo.

Cuando nos enseñan geometría en el colegio, nos enseñan que la separación entre dos puntos se llama distancia, y que la separación entre dos líneas se llama ángulo. Basándose en estos dos conceptos, la trigonometría acaba introduciendo conceptos un poco obscuros, como son el seno, el coseno y la tangente de un ángulo, así como sus inversos, el arcoseno, el arcocoseno y la arcotangente. ¿Quién de nosotros no ha tenido pesadillas con todas estas fórmulas en matemáticas del instituto?. Seguro que a más de la mitad de los alumnos de matemáticas se les atragantan todos estos conceptos.

En la universidad de matemáticas de Nueva Gales del Sur (Australia), sin embargo, el profesor N. J. Wildberger ha pensado en este tema. Se ha preguntado: ¿por qué tenemos que meter el concepto de ángulo en la geometría, introduciendo de esta forma la circunferencia, cuando podemos pasar simplemente con lineas y puntos?. El hecho de tener que introducir la circunferencia complica sobremanera las fórmulas y los cálculos, de ahí la necesidad de las fórmulas trigonométricas tan complejas de entender. Pensando en esa pregunta, ha introducido dos conceptos diferentes: la cuadrancia (quadrance) y la extensión (spread), los cuales se pueden demostrar luego que equivalen al cuadrado de la distancia y al cuadrado del seno del ángulo respectivamente, aunque no se basan en absoluto en estos conceptos.

Con estos dos nuevos conceptos, cuadrancia y extensión, este profesor redefine la trigonometría desde el origen de una forma fácil de entender, con fórmulas fáciles de usar y deducir, y, lo que para mí es muy importante, sin más fórmulas matemáticas que polinomios. Se acabaron los senos, cosenos, tangentes y demás fórmulas trigonométricas para las que hacen falta calculadoras. Ahora todo se reduce a polinomios de mayor o menor grado, simplificándose gran parte de los problemas a calcular, como mucho, raíces cuadradas. Se acabaron los radianes, los grados decimales y los sexagesimales. Ahora la separación entre dos lineas que se cortan no es más que un número sin unidades entre 0 y 1.

No sé si esta nueva trigonometría (trigonometría racional, en contraposición a la trigonometría transcendental actual) acabará substituyendo a la tradicional, pero si al final consigue imponerse en las matemáticas, un mundo nuevo se abrirá a los ojos de los estudiantes de matemáticas de los institutos. A mí, personalmente, me ha impactado bastante.

Para quien quiera echarle un ojo, el profesor ha escrito un libro sobre la trigonometría racional. No está aún publicado (lo hará próximamente), pero se dispone del primer capítulo en PDF (en inglés, por supuesto).